Z tego artykułu dowiesz się, czym są logarymy i jak je obliczać. Miej na uwadze podczas nauki, że do pełnego zrozumienia logarytmów musisz potrafić obliczać potęgi o wykładnikach wymiernych i całkowitych. Zaczynajmy!

Naukę logarytmów warto potraktować poważnie, ponieważ znajdują one swoje zastosowanie we wszystkich naukach przyrodniczych. Jesteś na biolchemie? Ten post jest też dla Ciebie! 

Definicja

Logarytmem o podstawie a z liczby b nazywamy liczbę c, spełniającą warunek:

$$\log_{a}{b}=c\leftrightarrow a^c=b$$

Liczbę a nazywamy podstawą logarytmu, a liczbę b nazywamy liczbą logarytmowaną. 

Przykłady

$$\log_{2}{8}=3\leftrightarrow 2^3=8$$

$$\log_{3}{81}=4\leftrightarrow3^4=81$$

$$\log_{5}{\frac{1}{25}}=-2\leftrightarrow5^{-2}=\frac{1}{25}$$

$$\log_{\frac{2}{3}}{\frac{4}{9}}=2\leftrightarrow(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$$

Przeanalizuj dokładnie powyższe przykłady, a kiedy będziesz mieć pewność, że je rozumiesz przejdź dalej. 

Zajmiemy się teraz trudniejszymi logarytmami, których wynik jest liczbą wymierną. Schemat postępowania jest taki:

•  zamień wszystkie liczby występujące w logarytmie na potęgi tej samej liczby, a ta liczba musi być podstawą logarytmu, ale czasem łatwiej najpierw zamienić na inną liczbę (patrz przykład)
• wykorzystując prawa działań na potęgach przekształć liczbę logarytmowaną
• odpowiedzią jest potęga w liczbie logarytmowanej

$$\log_{4}{2\sqrt{2}}=\log_{4}{(2^1\cdot2^{\frac{1}{2})}}=\log_{4}{2^{\frac{3}{2}}}=$$

$$=\log_{4}{(4^{\frac{1}{2}})^\frac{3}{2}}=\log_{4}{4^\frac{3}{4}}=\frac{3}{4}$$

Przykład 2

W tym przykładzie pokażę Ci inną metodę, która przyda się w przypadkach kiedy trudne byłoby przedstawienie liczby logarytmowanej jako potęgi podstawy logarytmu. Skorzystamy z definicji logarytmu, zamienimy wyrażenie na potęgi i wtedy obie strony równania sprowadzimy do potęgi tej samej liczby. Na końcu opuścimy liczby potęgowane i dostaniemy proste równanie. 

$$\log_{2\sqrt{2}}{16}=x$$

$$(2\sqrt{2})^x=16$$

$$(2^1\cdot2^{\frac{1}{2}})^x=2^4$$

$$(2^{\frac{3}{2}})^x=2^4$$

$$2^{\frac{3}{2}x}=2^4$$

$$\frac{3}{2}x=4$$

$$x=4 \div \frac{3}{2}=4\cdot\frac{2}{3}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}$$