Zajmiemy się dzisiaj obliczaniem najbardziej popularnych typów granic ciągów przerabianych na lekcjach w szkole średniej. Temat jest oczywiści z zakresu rozszerzonego.

Każda granica w przypadku ciągów jest liczona do +nieskończoności, ponieważ n jest liczbą naturalną.

1) Ułamki z wielomianami w liczniku i mianowniku

Pierwszy typ granic to wszystkie ciągi o wzorach wielomian przez wielomian.

Przykład 1

$$\lim_{n \rightarrow \infty}a_n=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n^2+3n-7}{-n^2-4n-11}$$ 

Rozwiązujemy je wyciągając przed nawias największą potęgę występującą w liczniki i w mianowniku. 

$$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n^2(1+\frac{3}{n}-\frac{7}{n^2})}{n^2(-1-\frac{4}{n}-\frac{11}{n^2})}$$

Następnie skracamy wyciągnięte n i pamiętamy, że każda granica typu stała przez n dąży do 0, więc wszystkie ułamki nam znikają. Zostaje tylko 1 w liczniku oraz -1 w mianowniku, tak więc

$$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n^2(1+\frac{3}{n}-\frac{7}{n^2})}{n^2(-1-\frac{4}{n}-\frac{11}{n^2})}=\frac{1}{-1}=-1$$

Przykład 2

W kolejnym przykładzie będziemy mieć nieco inną sytuację.

$$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2n+1}{n^2+3n+1}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n(2+\frac{1}{n})}{n^2(1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2})}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2}{1n}=0$$

W mianowniku była wyższą potęga przy n niż w liczniku, więc po skróceniu, n został w mianowniku i otrzymaliśmy granicę stała przez n, która zawsze wynosi 0. Analogicznie, jeżeli w liczniku byłaby wyższa potęga, ciąg byłby rozbieżny do nieskończoności lub -nieskończoności w zależności od znaków.

2) Odejmowanie dwóch wyrażeń, z których conajmniej jedno jest pierwiastkiem kwadratowym.

Przykład 1

$$\lim_{n\rightarrow \infty}(\sqrt{n^2-1}-2)=\lim_{n\rightarrow \infty}(\sqrt{n^2-1}-2)\cdot\frac{\sqrt{n^2-1}+2}{\sqrt{n^2-1}+2}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{(\sqrt{n^2-1}-2)\cdot(\sqrt{n^2-1}+2)}{\sqrt{n^2-1}+2}=$$

$$=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n^2-1-4}{\sqrt{n^2-1}+2}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n^2(1-\frac{5}{n^2})}{n\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}}.$$

Dla ułatwienia rozpiszę co dokładnie wydarzyło się w mianowniku: